Mind Map dan Deskripsi bab Himpunan

DESKRIPSI

HIMPUNAN

•       Pengertian Himpunan :

                Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

-          Kumpulan yang merupakan himpunan:

1. Kumpulan gunung-gunung di Jawa Tengah
2. Kumpulan hewan pemakan daging
3. Kumpulan bilangan cacah ganjil

-          Kumpulan yang bukan himpunan:

1.       Kumpulan makanan lezat

2.       Kumpulan lukisan indah

3.       Kumpulan wanita cantik

•        Notasi dan Anggota Himpunan

-          Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

-          Anggota atau elemen adalah setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan. Anggota dinotasikan dengan ϵ  dan bukan anggota dinotasikan ϵ

-          Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

•        Cara Menyatakan Himpunan

-          Dengan kata-kata

                contoh : P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}

-          Dengan notasi pembentuk himpunan

                contoh : P : {bilangan prima antara 10 dan 40}. Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {X 10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}.

-          Dengan mendaftar anggota-anggotanya

                contoh : P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

                                                A = {1, 2, 3, 4, 5}

•        Macam – Macam Himpunan

-          Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau Ø . contoh : R = {x | x < 1, x ϵ C}

-          Himpunan semesta

 Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S.

-          Himpunan Berhingga

Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir.

-          Himpunan Tak Berhingga

suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu.

•        Diagram Venn

Diagram venn adalah suatu gambar lingkaran atau ellips yang digunakan untuk menyatakan suatu himpunan.

Contoh:                                                        Diagram Venn

                                P={2,3,4,5}                 

Untuk himpunan semesta, diagram yang digunakan biasanya memakai bentuk persegi panjang. Dan nama himpunan semestanya atau S ditulis di pojok kiri atas.

•        Hubungan Antar Himpunan

-          Himpunan Lepas/Saling Lepas/Saling Asing

Dua buah himpunan dikatakan himpunan lepas apabila kedua himpunan anggota-anggotanya tidak ada yang sama atau tidak berkaitan(saling lepas)

Contoh:

C={4,5,6}      D= {1,2}

Himpunan C dan D dikatakan himpunan lepas, karena tidak ada anggotanya yang sama.

-          Himpunan Tidak Saling Lepas/ Berpotongan

Dua buah himpunan dikatakan himpunan tidak saling lepas bila kedua himpunan tersebut anggota-anggotanya ada yang sama atau ada keterkaitan (berpotongan)

Contoh:

F={a,b,c}         G={c,d,e}

Himpunan  F dan G dikatakan berpotongan karena ada anggotanya yang sama, yaitu c

-          Himpunan di  Dalam Himpunan

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis AcB jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis AcB ↔  xϵA maka xϵB

-          Himpunan Bagian Sejati

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika AcB dan B₵A.

-          Dua Himpunan  yang Sama

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B ↔ AcB dan BcA. 

-          Dua Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis AB jika dan hanya jika:

a)     n(A) = n(B), untuk A dan B  himpunan berhingga.

b)   A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

-          Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2^A.

•        Operasi Himpunan

-          Irisan Dua Himpunan

Irisan (intersect) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan dilambangkan dengan ∩

-          Gabungan Dua Himpunan

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis AUB adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B.

-          Komplemen

Jika P adalah suatu himpunan dan S adalah himpunan semesta, maka yang disebut komplemen dari himpunan P (P’) terhadap S adalah himpunan semua anggota di dalam himpunan semesta yang bukan menjadi anggota P. Komplemen dapat ditulis dengan simbol ( ‘ )

Contoh:

S={3,4,5,6,7}               P={4,5}

Maka, P’={3,6,7}

-          Selisih Dua Himpunan

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B.

Contoh:

A={4,5,6,7}                  B={3,4}

Maka, A-B={5,6,7}

-          Perkalian Dua Himpunan

Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a ϵA dan bϵB.

Contoh:

Diketahui     A={a,b} dan B={1,2,3},maka

A X B ={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

B X A ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Ternyata AXB=BXA

•        Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

1.       Idempoten                                                

a. A ∩ A = A                                                       

b. A U A = A

2.     Asosiatif

a. (A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C)                                            

b. (A U B)UC = A U (B U C)                           

3.    Komutatif                                                   

                a. A ∩B=B ∩A                                   

                b. A U B= B U A                                

4.     Distributif                                                   

                a. A U(B ∩C)=(A U B) ∩(A U C)                  

b. A ∩ (B U C)=(A ∩ B) U (A ∩ C)

5.     Identitas

                a. A U Ø=A

                b. A U U= U

                c. A ∩ Ø= Ø

                d. A ∩ U= A

6.     Komplement

a. A U A’= U

                b. A ∩A’=Ø

c. (A’)’=A

d. U’=Ø

7.      De Morgan

a. (A U B)’=A’ ∩B’

b. (A ∩B)’=A’U B’

8.      Absorpsi

a. A ∩(A U B)=A

b. A U (A ∩B)=B